求解微分方程

摘要

解微分方程是我的弱项，就靠这个了

基本概念

定义

含导数或微分的方程称之为微分方程，一般形式为$f(x,y' \cdots y^{(n)})$

阶数

微分方程所含的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数

解

解：使得微分方程成立的函数 特解：不含任意常数 通解：所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等

求解

可分离变量微分方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)g(y)$$

解

$$\int \frac{\mathrm{d}y}{g(y)} = \int f(x)\mathrm{d}x$$

e.g.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2xy$$

解

$$\int \frac{\mathrm{d}y}{y} = \int 2x\mathrm{d}x$$

$$\ln y = x^2+C$$

$$\begin{aligned} y {}& = e^{x^2+C} {} \\ & = e^C e^{x^2} {} \\ & = C_1 e^{x^2} {} \\ & \quad(C_1 = e^C) \end{aligned}$$

一阶齐次线性微分方程

$$y' +P(x)y = 0$$

解

$$y = Ce^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}}$$

e.g.

$$y'-xy=0$$

解

$$y = Ce^{\int x\mathrm{d}x}=Ce^{\frac{x^2}{2}}$$

一阶非齐次线性微分方程

$$y'+P(x)y = Q(x) \neq 0$$

解

$$y = (\int Q(x)e^{\int P(x) \mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C)e^{-\int P(x) \mathrm{d}x}$$

e.g.

$$y'+y \tan x = \cos x$$

解

$$y = (\int \cos x e^{\int \tan x \mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C)e^{-\int\tan x \mathrm{d}x} = (x+C)\cos x$$

贝努利方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0)$$

解 令$z = y^{1-n}$，代入原方程得$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$，再求解该一阶非齐次线性方程即可

e.g.

$$x^2y'+xy = y^2$$

解

$$z = y^{1-2} = y^{-1},\quad y' = -\frac{1}{z^2}z'$$

代入原式

$$z' - \frac{1}{x}z = -\frac{1}{x^2}$$

$$z = (\int (-\frac{1}{x^2})e^{\int -\frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x +C)e^{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x} = (\frac{1}{2x^2}+C)x$$

$$\frac{1}{y} = (\frac{1}{2x^2}+C)x$$

可降阶微分方程

形式一

$$y^{(n) = f(x)}$$

解 对方程进行$n$次不定积分

e.g.

$$y'' = x^2$$

解

$$y' = \frac{1}{3} x^3 +C_1$$

$$y = \frac{1}{12}x^4+C_1 x + C_2$$

形式二

$$f(x,y',y'') = 0$$

解

1. 令$y' = p$，则$y''=p'$，原方程变为$f(x,p,p') = 0$
2. 解出$p = \varphi(x)$
3. $y = \int \varphi(x)\mathrm{d}x+C$

e.g.

$$y'' + \frac{y'}{x} = 0$$

解 令$y' = p$，则$y'' = p'$，原方程变为$p' + \frac{p}{x} = 0$

$$p = C_1e^{\int -\frac{1}{x}\mathrm{d}x} = \frac{C_1}{x}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{C_1}{x}$$

$$y = C_1 \ln \lvert x \rvert +C_2$$

形式三

$$f(y,y',y'') = 0$$

解

1. 令$y' = p$，则$y'' = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，原方程变为$f(y,p,p') = 0$
2. 解出$p = \varphi(y)$
3. $\int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y)} = x+C$

e.g.

$$y y'' = y'^2$$

令$y' = p$，$y'' = p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，代入原式

$$yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p^2 = 0 \Rightarrow p = C_1 e^{\int \frac{1}{y} \mathrm{d}y = C_1 y }$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = C_1 y \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}y}{y} = \int C_1 \mathrm{d}x$$

$$\ln y = C_1x+C_2 \Rightarrow y = e^{C_1 x+C_2} = C_3 e^{C_1 x} \quad (C_3 = e^{C_2})$$

二阶常系数线性微分方程

$$y'' +py' +qy = 0$$

解

1. 求解$y'' +py' +qy = 0$的特征方程是$r^2+pr+q = 0$
2. 根据方程根的不同分为三种情况
   1. 当特征方程有两个实根$r_1$，$r_2$，且$r_1\neq r_2$，则$y = C_1e^{r1 x}+C_2e^{r_2 x}$
   2. 当特征方程有重根$r_1 = r_2$，则$y = (C_1+C_2x)e^{r_1 x}$
   3. 当特征方程有两个共轭重根$r_{1,2} = \alpha \pm \beta i$，则$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

e.g.1

$$y'' - y' - 6y = 0$$

解

$$r^2-r-6 = (r-3)(r+2) = 0 \Rightarrow r_1 = 3,\quad r_2 = -2$$

$$y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}$$

e.g.2

$$y''-2y'+y = 0$$

解

$$r^2-2r+1 = (r-1)^2 = 0 \Rightarrow r_{1,2} = 1$$

$$y = (C_1 + C_2 x)e^x$$

e.g.3

$$y'' - 2y' + 2y = 0$$

解

$$r^2- 2r +2 = 0 \Rightarrow r_{1,2} = 1 \pm i$$

$$y = e^x (C_1 \cos x + C_2 \sin x)$$

二阶常系数非齐次线性微分方程

形式一

$$y'' + py' +qy = P_n(x)e^{kx}$$

其中$P_n(x)$代表$x$的$n$阶多项式 解 根据$k$的值有以下三种情况：

1. 若$k$非特征值，即$k \neq r_1 \neq r_2$，则特解 $y^* = e^{kx} \sum_{i=0}^n a_i x^i$
2. 若$k$与一个特征值相同，则特解 $y^* = xe^{kx} \sum_{i=0}^n a_i x^i$
3. 若$k$与两个特征值相同，则特解 $y^* = x^2e^{kx} \sum_{i=0}^n a_i x^i$

形式二

$$y'' + py' + qy = e^{ax} [P_l \cos bx + P_s \sin bx]$$

其中$P_l(x)$，$P_s(x)$代表$x$的$l$，$s$阶多项式 解 根据$a$，$b$的值有以下三种情况

1. 若$a\pm b i$不是特征值，则特解 $y^* = (Q_n^{(1)}(x)\cos bx+Q_n^{(2)}(x)\sin bx)e^{ax}$
2. 若$a\pm b i$是特征值，则特解 $y^* = x(Q_n^{(1)}(x)\cos bx+Q_n^{(2)}(x)\sin bx)e^{ax}$